微积分的发展史

算法与数学之美 2022-05-10 06:35:27

微积分真正成为一门数学学科,是在十七世纪,然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。着眼于微积分的整个发展历史,在此分为四个时期:1.早期萌芽时期。2.建立成型时期。3.成熟完善时期。4.现代发展时期。

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早期萌芽时期:


1、 古西方萌芽时期:

公元前七世纪,泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想,尽管不是很明显。公元前三世纪,伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式,其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。此外,他还计算出Π的近似值,阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。



2.   古中国萌芽时期:

三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”,即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”不断地增加正多边形的边数,进而使多边形更加接近圆的面积,在我国数学史上算是伟大创举。


       

另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数,他们的精神值得我们学习。此外祖暅之提出了祖暅原理:“幂势即同,则积不容异”,即界于两个平行平面之间的两个几何体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。祖暅之利用牟合方盖(牟合方盖与其内切球的体积比为4:Π)计算出了球的体积,纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。




建立成型时期:


1.十七世纪上半叶:

这一时期,几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题,特别是描述运动与变化的无限小算法,并且在相当短的时间内取得了极大的发展。

       

天文学家开普勒发现行星运动三大定律,并利用无穷小求和的思想,求得曲边形的面积及旋转体的体积。意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理(祖暅原理),利用不可分量方法幂函数定积分公式,此外,卡瓦列利还证明了吉尔丁定理(一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。),对于微积分的雏形的形成影响深远。


       

此外解析几何创始人——法国数学家笛卡尔的代数方法对于微积分的发展起了极大的推动。法国大数学家费马在求曲线的切线及函数的极值方面贡献巨大。其中就有关于数学分析的费马定理:设函数f(x)是在某一区间Χ内定义的,并且在这区间的内点c取最大(最小)值。若在这一点处存在着有限导数f'(c),则必须有f'(c)=0。




2. 十七世纪下半叶:

英国科学家牛顿开始关于微积分的研究,他受了沃利斯的《无穷算术》的启发,第一次把代数学扩展到分析学。1665年牛顿发明正流数术(微分),次年又发明反流数术。之后将流数术总结一起,并写出了《流数简述》,这标志着微积分的诞生。接着,牛顿研究变量流动生成法,认为变量是由点、线或面的连续运动产生的,因此,他把变量叫作流量,把变量的变化率叫做流数。在牛顿创立微积分后期,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合,不再强调数学量是由不可分割的最小单元构成,而认为它是由几何元素经过连续运动生成的,不再认为流数是两个实无限小量的比,而是初生量的最初比或消失量的最后比,这就从原先的实无限小量观点进到量的无限分割过程即潜无限观点上去。


       

同一时期,,他于1684年发表第一篇微分论文,定义了微分概念,采用了微分符号dx,dy。1686年他又发表了积分论文,讨论了微分与积分,使用了积分符号∫,符号的发明使得微积分的表达更加简便。,,将微分与积分运算联系在一起,他在微积分方面的贡献与牛顿旗鼓相当。


       

,我们无须去争辩谁是真正的微积分创始人,在数学领域来说,这真的是一件极其无聊的事情,因为每一次的数学发现都是全人类共同的财富,真正的数学家也绝不会有心思去谈论这种问题单的!


成熟完善时期:


1.第二次数学危机的开始:

,但是任何新的数学理论的建立,在起初都是会引起一部分人的极力质疑,微积分学同样也是。由于早期微积分学的建立的不严谨性,许多不安分子就找漏洞攻击微积分学,其中最著名的是英国主教贝克莱针对求导过程中的无穷小(Δx既是0,又不是0)展开对微积分学的进攻,由此第二次数学危机便拉开了序幕。


 2.第二次数学危机的解决:

危机出现之后,许多数学家意识到了微积分学的理论严谨性,陆续的出现大批杰出的科学家。在危机前期,捷克数学家布尔查诺对于函数性质作了细致研究,首次给出了连续性和导数的恰当的定义,对序列和级数的收敛性提出了正确的概念,并且提出了著名的布尔查诺——柯西收敛原理(整序变量Χn有有限极限的充要条件是:对于每一个ε>0总存在着序号N,使当n>N及n'>N时,便能成立不等式∣Χn-Χn'∣﹤ε)。


之后的大数学家柯西建立了接近现代形式的极限,把无穷小定义为趋近于0的变量,从而结束了百年的争论,并定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性(与布尔查诺同期进行),柯西在微积分学(数学分析)的贡献是巨大的:柯西中值定理、柯西不等式、柯西收敛准则、柯西公式、柯西积分判别法等等,其一生发表的论文总数仅次于欧拉。另外阿贝尔(其最大贡献是首先想到倒过来思想,开拓了椭圆积分的广阔天地)指出要严格限制滥用级数展开及求和,狄利克雷给出了函数的现代定义。


在危机后期,数学家魏尔斯特拉斯提出了病态函数(处处连续但处处不可微的函数),后续又有人发现了处处不连续但处处可积的函数,使人们重新认识了连续与可微可积的关系,他在连续闭区间内提出了第一、第二定理,并引进了极限的ε~δ定义,基本上实现了分析的算术化,使分析从几何直观的极限中得到了“解放”,从而驱散了17——18世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾。继而在此基础上,黎曼与1854年和达布于1875年对有界函数建立了严密的积分理论,19世纪后半叶,戴金德等人严格的实数理论。


至此,数学分析(包含整个微积分学)的理论和方法完全建立在牢固的基础上,基本上形成了一个完整的体系,也为20世纪的现代分析铺平了道路。

未完待续。


来源:美味数学 小杨

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